1. Особенности геостационарной орбиты

С теоретической точки зрения идеальный ГСС представляет собой космический объект, который движется в экваториальной плоскости Земли строго по круговой орбите с периодом обращения, равным периоду вращения Земли вокруг своей оси, т.е. одни звездные сутки, или 23h 56m.1.
ГСС как бы жестко связан с земной поверхностью и единственным, причем неизменным параметром, характеризующим его положение в пространстве, является долгота, точнее географическая долгота подспутниковой точки.

Однако, в реальности немного спутников удовлетворяет перечисленным выше условиям. Обычно к геостационарам относят объекты с периодами от 22h до 26h, эксцентриситетами e не более 0.3 и наклонами плоскости орбиты к плоскости экватора i до 30°, хотя в некоторых источниках можно встретить и более подробную классификацию, и более жесткие границы. Отличие e от нуля приводит к тому, что долгота ГСС меняется с периодом, близким к 24h и амплитудой 2e рад. Из-за ненулевого наклона происходит незначительное изменение долготы (с периодом около 12h и амплитудой, пропорциональной i2), и широты (с периодом 24h и амплитудой, равной самому наклону). Вследствие этого подспутниковая точка описывает на поверхности Земли известную "восьмерку". Наконец, отличие периода от теоретического приводит к тому, что средняя долгота ГСС меняется со временем: спутник медленно дрейфует с запада на восток, если его период обращения вокруг Земли меньше звездных суток, и с востока на запад в противном случае. Величину среднего суточного дрейфа D восточной долготы геостационара можно оценить по формуле:

D= 360 (1440/Ps - 1.00273791) (°/сут),           (1)

где Ps - cидерический период обращения ГСС вокруг Земли в минутах солнечного времени.

Основными причинами, искажающими кеплеровское движение пассивного геостационарного спутника, являются возмущения от несферичности геопотенциала, лунно-солнечные возмущения, а для ГСС с большим отношением площади поверхности к массе - еще и световое давление (негравитационный фактор).

Резонансное влияние долготных членов в разложении потенциала Земли приводит к тому, что на геостационарной орбите имеются два устойчивых положения равновесия: 75° и 255° восточной долготы (они же - точки либрации), и два неустойчивых, отстоящих от устойчивых точек примерно на 90°.

В рамках упрощенной симметричной трехосной модели Земли поведение долготы пассивного ГСС достаточно хорошо описывается уравнением типа уравнения маятника:

d2 f / dt2 + Dk2 / 2∙sin(2f) = 0,           (2)

где f = λ - λL - восточная долгота ГСС, λL - долгота одной из точек либрации, в качестве которой для нас удобно взять 75°, Dk =0.437 °/сут - внешний параметр, играющий роль критического дрейфа долготы. Решение уравнения (2) выражается через эллиптические функции. Пусть D0 = (df/dt)0 - дрейф в начальный момент времени t0, λ0 - долгота на этот же момент. Эти два параметра играют роль начальных условий и могут быть определены из наблюдений. Максимальный дрейф Dm, т.е. дрейф долготы ГСС при прохождении им какой-либо точки либрации, можно найти из:

Dm2 = D02 + Dk2∙sin2(f0) ,       f0 = λ0 - λL .           (3)

Знак Dm совпадает со знаком D0. В модели (2) для конкретного геостационара этот параметр постоянен и может служить одной из его характеристик.

Введем следующие обозначения:

k2 = (Dm /Dk)2,        k1 = 1/k,       K(k) = F(π/2, k),
,

F(φ, k) , K(k) - неполный и полный эллиптические интегралы первого рода. Характер движения пассивного ГСС зависит от значения параметра k.

  1. При k < 1 - либрационный режим. Амплитуда A(рад.) и период P(сут.) колебаний долготы объекта вблизи точки либрации определяются как:
  2. A = arcsin(k),        P = 4∙K(k)/Dk∙57.29578.               (4)

    Долгота ГСС и ее дрейф D на произвольный момент времени вычисляются по формулам:

    f = arcsin(k∙sn(u,k)),       D=Dm∙cn(u,k),

    u=Dk∙(t - t0) + F(arcsin(sin(f0)/k) , k).              (5)

  3. При k > 1 - дрейфующий режим. Период изменения долготы определяется из:

    P = 4∙K(k1)/Dm∙57.29578,                (6)

    а долгота ГСС и ее дрейф на произвольный момент - из:

    sin(f)=sn(u,k1),        cos(f)=cn(u,k1),       D=Dm∙dn(u,k1),

    u = Dm∙(t - t0) + F(f0 ,k1).               (7)

В этих выражениях sn, cn, dn - эллиптические функции Якоби.

Основные отличия реального движения от модельного заключаются в следующем.

  1. Формулы (4), (6) дают неверный (обычно немного завышенный) период изменения долготы. Частично этот недостаток можно скомпенсировать вариацией параметра Dk в пределах от 0.437 до 0.48 °/сутки (нижняя граница - для объектов с дрейфом, близким к критическому, верхняя - для либрационных ГСС с небольшой амплитудой колебаний).
  2. Величины отклонения долготы ГСС к востоку и к западу от точек либрации несколько различаются между собой, а действительные долготы неустойчивых точек из-за влияния долготной асимметрии гравитационного поля составляют не 165° и 345°, а 161° и 348° Е [5].
  3. Глубина "потенциальной ямы" в устойчивых точках либрации и высота "потенциального барьера" в неустойчивых точках немного меняются со временем, благодаря чему геостационары с дрейфом долгот, близким к критическому, при благоприятных условиях способны переходить из одной точки либрации в другую, либо временно менять либрационный режим движения на дрейфующий и наоборот.

Согласно [5,6], все каталогизированные ГСС можно разделить на несколько классов, далее в скобках указана примерная доля объектов данного класса от их суммарного количества:
Класс С - активные, корректируемые ГСС, (38%). Такие объекты постоянно удерживаются на одной долготе с помощью энергетических установок. В зависимости от типа коррекции, орбитальных параметров и долготы активные геостационары иногда разделяют на подклассы, но здесь мы этого делать не будем. В промежутках времени между коррекциями эти объекты обычно ведут себя как либрационные. Среднее "время жизни" неаварийного активного ГСС - около 10 лет, далее он или становится либрационным или пополняет класс дрейфующих объектов.
Класс L1 - ГСС, движущиеся в режиме либрации относительно устойчивой точки с долготой 75° Е, (10%).
Класс L2 - то же для точки с долготой 255° Е, (4%).
Класс L3 - небольшое количество пассивных объектов с дрейфом, близким к критическому, они способны менять точку либрации или режим движения, (менее 1%).
Класс D1 - ГСС с отрицательным дрейфом, меньшим -2°.5 в сутки, (22%).
Класс D2 - дрейфующие ГСС с дрейфом от -2°.5 до +2°.5 в сутки, (16%). Примерно 1/3 их постоянно движется с запада на восток, а 2/3 - с востока на запад.
Класс D3 - ГСС с положительным дрейфом, большим +2°.5 в сутки, (10%).

Анализ долговременной эволюции параметров орбит ГСС можно проводить от-носительно плоскости экватора, но значительно удобнее ввести в рассмотрение т.н. плоскость Лапласа, которая наклонена к экватору под углом Λ = 7°.342. Здесь Λ соответствует средней эпохе каталога [6] (апрель 1996г). Введение этой плоскости позволяет упростить учет лунно-солнечных и резонансных возмущений. В частности, наклон плоскости орбиты к плоскости Лапласа, в отличие от ее наклона к плоскости экватора, для типичных ГСС меняется со временем незначительно и лежит в пределах 7° - 8° (см. рис. 3a и 3б Приложения), а долгота восходящего узла зависит от времени почти линейно.

Рис. 3. Зависимость угла наклона плоскости орбиты от времени для 4-х типичных ГСС.

a) - относительно плоскости экватора,

b) - относительно плоскости Лапласа.

Число рядом с кривой означает порядковый номер ГСС в зональном каталоге. Нижняя кривая на рис.3а относится к сравнительно молодому ГСС (запуск 1992г). Верхняя кривая относится к старому объекту с неизвестным международным номером и датой запуска, однако из анализа орбитальных и фотометрических характеристик можно заключить, что он был выведен на орбиту в 1971 - 1973 гг.

Другое полезное свойство плоскости Лапласа - отсутствие неопределенности в долготе восходящего узла при малых наклонах. Связь угла наклона орбиты и долготы восходящего узла относительно плоскости экватора (i, Ω) и теми же величинами для плоскости Лапласа (iΛ, ΩΛ) дается формулами [5]:

по оси X:   sin(iΛ) cos(ΩΛ) = - cos(i) sin(Λ) + sin(i) cos(Λ) cos(Ω)
по оси Y:   sin(iΛ) sin(ΩΛ) = sin(i) sin(Ω)
по оси Z:   cos(iΛ) = cos(i) cos(Λ) + sin(i) sin(Λ) cos(Ω)

В качестве примера на рис. 4а Приложения показана эволюционная диаграмма i - Ω, крестиком на горизонтальной оси отмечено положение плоскости Лапласа. На рис. 4б приведена такая же диаграмма, но относительно плоскости Лапласа.

Рис. 4. Эволюционная диаграмма наклон-узел:

a) - относительно плоскости экватора (крестиком на горизонтальной оси обозначено положение плоскости Лапласа),

b) - относительно плоскости Лапласа.

По осям координат отложены: угол наклона плоскости орбиты к плоскости экватора - по радиусу, долгота восходящего узла - по полярному углу. Время существования ГСС на орбите увеличивается по часовой стрелке. На диаграммах хорошо видна основная ветвь и ее тонкая структура, а также несколько дополнительных ветвей.